Biografi: Student uten muligheter til videre studier

Abel ble student i 1821, med middels karakterer – bortsett fra matematikk. Hjemme på Gjerstad var hans far gått bort, ribbet for respekt og under de tristeste omstendigheter. Niels Henriks eldstebror gled inn i en depresjon som aldri slapp taket, og Niels Henrik ble pålagt et famileansvar som han aldri maktet å leve opp til.

Som nybakt student hadde Abel trolig større matematiske kunnskaper enn noen annen i landet. Bernt Michael Holmboe hadde lært ham det han kunne, og Abel hadde studert videre på egen hånd. Fra et velutstyrt universitetsbibliotek lånte han blant annet Newton, Euler, Lagrange, Gauss, samt de nyeste publikasjonene og tidsskriftene fra Paris. Allerede før han ble student hadde han begynt på det som skulle bli hans første store matematiske bragd: arbeidet med femtegradsligningen.

Abel tok den obligatoriske forberedende prøven, som var en utvidelse av studenteksamenen. Abels karakterer var også her middels, bortsett fra i matematikk. Og så var det ikke stort mer å studere ved universitetet for en som ikke valgte de vanlige embetsstudiene: teologi, medisin eller jus — noe realfagstudium fantes ennå ikke.

Studerte på egen hånd
Abel studerte på egen hånd, og våren 1823 debuterte han med en artikkel i landets første vitenskapelige tidsskrift, Magazin for Naturvidenskaberne — også et par andre mindre arbeider av Abel ble publisert her. Noen av professorene støttet av egne midler Abel økonomisk, og både de og universitetets ledelse var klar over at Abel måtte utenlands for å lære mer. Og de stedene der det fremfor alt foregikk matematisk forskning var i Paris — ved L’École Polytechnique, L’École Normale og Sorbonne universitet — og i Göttingen hos den store Carl Friedrich Gauss. Men mangelen på offentlige midler tvang Abel til å bli værende ved Universitetet i Christiania i fire år.

København
Sommeren 1823 fikk han imidlertid anledning til å reise til København for å besøke matematikerne der, først og fremst Ferdinand Degen, som ble regnet som Nordens fremste matematiker. I København deltok Abel i studentlivet, han arbeidet litt med Fermats siste sats, og han begynte å studere elliptiske funksjoner. Han bodde hos sin moster og hennes mann, som var dansk sjøoffiser, i deres hjem ved marinebasen på Christianshavn. På et ball der møtte Abel nitten år gamle Christine Kemp, som året etter kom til Norge og ble hans forlovede.

Statlig stipend
I løpet av våren 1824 var arbeidet med å skaffe Abel offentlig støtte kommet så langt at han ble innvilget statlig stipend i to år, samt løfte om en utenlandsreise i nye to år. På denne tid, våren 1824, fikk han av egne midler trykt arbeidet sitt om femtegradsligningen: Han hadde skrevet på fransk og presset beviset sammen på seks små sider, noe som gjorde det nesten uforståelig — og det ble da heller ikke det "adgangstegnet" til det lærde Europa Abel hadde tenkt seg.