Biografi: Den store utenlandsreisen

Etter å ha skrevet et personlig brev til kong Karl Johan fikk Abel fremskyndet utenlandsreisen, og i september 1825 dro han fra Christiania. Planen og vilkåret for stipendet var å dra til Gauss i Göttingen og så videre til Paris. Men da Abel kom til København, la han om reiseruten: Han dro til Berlin i stedet, og dette må sies å være det store lykketreff i hans korte liv.

I Berlin møtte han den matematikkinteresserte ingeniøren August Leopold Crelle (1780-1855), som i møtet med Abel fikk mot til å gå i gang med det som lenge hadde vært et ønskemål, nemlig i Berlin å gi ut et matematisk tidsskrift som kunne ta opp konkurransen med de veletablerte i Frankrike. Allerede på nyåret 1826 kom første nummer av Journal für die reine und angewandte Mathematik, og her skulle Abel publisere det meste av det han rakk å skrive, og mye takket være Abels arbeider fikk Crelles Journal straks ry som et av Europas ledende (og tidsskriftet utkommer ennå, stadig med internasjonalt ry).

Abel ble værende fire måneder i Berlin, og han hadde en inspirerende tid sammen med Crelle og matematikere i kretsen rundt ham.

Det første Abel publiserte i Crelles Journal var en utvidet versjon av beviset for at den generelle femtegradsligningen ikke var løsbar ved rotutdragning. Ved skarpsindighet og virtuositet påviste han at en eventuell løsning måtte inneholde egenskaper ingen rotuttrykk kan ha. Men mange spesielle ligninger av grad fem eller høyere, har løsninger, og i sine videre ligningsteoretiske arbeider fant Abel langt på vei hva som kvalifiserte for slike løsninger.

Pioner
Første årgang av Crelles Journal inneholder ellers syv innslag av Abel — to mindre oppgaver/kommentarer og fem avhandlinger — blant annet et banebrytende arbeid om binominalrekken, der han utreder rekkens konvergenskriterier fullstendig. Abel demonstrerer her den eksakthet og stringens som ofte hadde manglet i matematiske bevis, og han blir en av pionerene i en moderne stringent bevisførsel.

Lang vei til Paris
Abel hadde på sin reise følge med andre unge norske vitenskapsmenn, som først og fremst studerte bergvitenskap og geologi. For dem lå de mest interessante studieområdene sør i Tyskland, i Østerrike, Sveits og nord i Italia. Og Abel, som i flere av brevene klaget over hvor melankolsk han kunne bli av å være alene, fulgte med vennene sørover i Europa. Til Paris kom han først i juli 1826, ti måneder etter at han hadde forlatt Christiania. Han rapporterte: "Endelig er jeg da kommen til Focus for alle mine mathematiske Ønsker" , og den lange omveien forklarte han slik: "Min Lyst til at see mig lidt om var stor og reiser man da blot for at studere det strengt Videnskabelige?"

Selv om Abel nå var begynt å publisere i Crelles Journal i Berlin, hadde han spart det han mente representerte helt nye innsikter, til det ærverdige Akademiet i Paris. Og straks etter at han hadde funnet husrom i byen, begynte Abel å arbeide på det som blir kalt Paris-avhandlingen.

Lovord
I ettertid er knapt noen matematisk avhandling blitt så mange lovord til del som denne Abels Paris-avhandling — et addisjonsteorem for elliptiske integral. Det som imponerer er Abels kolossale generalitet i problemstillingene, hans scenarium var større enn sine forgjengeres — han påviste matematiske sammenhenger ingen tidligere hadde drømt om, og han åpnet for forskningsområder det ennå blir funnet nye aspekter ved. Abels Paris-avhandling er blitt stående som en milepæl i matematikkens utvikling.

Abel leverte Paris-avhandlingen til vitenskapsakademiet i slutten av oktober 1826, underskrev: "par N.H. Abel, Norvegien".

Sykdom og mistrivsel
Han ble boende i Paris resten av året, og mens han ventet på svar gjorde han ferdig et par andre arbeider. Men Abels Paris-avhandling ble lagt til side og glemt. Så lenge han levde var han overbevist om at arbeidet var gått tapt for alltid. Oppholdet i Paris ble en skuffelse, han mistrivdes og følte seg dårlig, hadde feber og hostet. Og en eller annen, trolig en medisiner i den kretsen av vitenskapsmenn Abel iblant oppsøkte, mente det var tuberkulose Abel led av — en dødsom den gangen.

Ved årsskiftet 1826/27 reiste Abel fra Paris, fattig og trett, til venner i Berlin. Han hadde tilbud om å bli redaktør for Crelles Journal, men takket nei. Han lengtet hjem og ville helst med sin vitenskap tjene sitt "Fædreneland". Crelle på sin side arbeidet videre med å skaffe Abel en sikker stilling i Berlin.